Raggio del cerchio inscritto nel triangolo Partiamo dall'area del triangolo conoscendone il perimetro ed il raggio del cerchio inscritto che abbiamo trovato in geometria euclidea nel capitolo dedicato all'equivalenza: l'area del triangolo vale As (ABC) = 2p·r -------- 2 Da questa formula posso ricavare il raggio del cerchio inscritto nel triangolo r = Area -------- p essendo p il semiperimetro Sostituendo all'area la formula di Erone avremo la formula per trovare il raggio del cerchio inscritto essendo noti i lati r = p(p-a)(p-b)(p-c) p ora portiamo il semiperimetro ad denominatore dentro radice r = p(p-a)(p-b)(p-c) p2 Semplifico sopra e sotto per p r = (p-a)(p-b)(p-c) p adesso moltiplico sopra e sotto per (p-a): cerco di trasformare in modo da avere una delle formule di Briggs r = (p-a)2(p-b)(p-c) p(p-a) Estraggo di radice (p-a) ed ottengo r = (p-a) (p-b)(p-c) p(p-a) ma per le formule di Briggs so che tang    = 2 (p-b)(p-c) p(p-a) Quindi posso scrivere la relazione r = (p-a) tang /2 Potendo applicare lo stesso ragionamento per estrarre di radice (p-b) e (p-c) avremo le tre formule per il raggio del cerchio inscritto nel triangolo r = (p-a) tang /2 r = (p-b) tang /2 r = (p-c) tang /2