Quadrato del binomio

calcoliamo
(2a+3b)·(2a+3b)
2a·2a = 4a2
2a·3b=6ab
3b·2a=6ab
3b·3b=9b2

quindi
4a2+6ab+6ab+9b 2
osserviamo che i due monomi interni sono uguali e (contrariamente a prima) con lo stesso segno quindi li debbo sommare ed ottengo
4a2+12ab+9b 2
Quindi io posso moltiplicare il primo termine con il primo, poi il primo per il secondo e, siccome mi verrebbero due termini uguali, senza sommarli dopo faccio subito il risultato moltiplicando per 2, infine il secondo termine per il secondo


Osserviamo che invece di (2a+3b)·(2a+3b) posso scrivere (2a + 3b)2
Proviamo ora a scrivere (2x+4y)2=(2x+4y)(2x+4y)
2x·2x = 4x2
2x·4y=8xy
4y·2x=8xy
4y·4y=16y2

quindi 4x2+16xy+16y2
e siccome 8xy+8xy sono uguali e si sommano otterremo
4x2+16xy+16y2
ora se ti dico di calcolare
(4a+3b)2
sapresti scrivere subito il risultato? Osserva i calcoli fatti prima:
dovrai moltiplicare il primo monomio per se' stesso 4a·4a = 16a 2
poi dovrai moltiplicare il primo monomio per il secondo e questo dovrai farlo due volte (cioe' basta moltiplicare per 2) perche' hai visto che vengono sempre due termini uguali che poi si sommano
quindi 4a·3b·2=24ab
poi dovrai moltiplicare il secondo monomio per se' stesso
cioe' 3b·3b=9b2
quindi
16a2+24ab+9b2
Sembra una cosa stupida, vero? Fare tanta fatica per saltare un passaggio, ma non devi pensare in questi termini, devi pensare in termini di livelli: tu non stai piu' lavorando sui numeri o sui monomi, stai lavorando sulle operazioni fra operazioni, cioe' sei su un livello superiore e vedrai piu' avanti che questi concetti possono portarti a fare operazioni molto piu' complicate con pochi passaggi
Ora leggiamo la regola considerando i monomi piu' semplici possibili
(a+b)2=a2+2ab+b 2
cioe'
Il quadrato di un binomio e' uguale al quadrato del primo monomio piu' il doppio del prodotto del primo per il secondo piu' il quadrato del secondo
Se hai bisogno di aiuto per leggere la regola fai click qui
Se la regola ti sembra difficile da ricordare fai click qui per vedere un semplice metodo mnemonico che di solito propongo ai miei alunni
E se ora ti chiedo di trovare
(a-b)2=
Bastera' ricordare le regole dei segni quindi
a·a = a2
a·(-b)·2=-2ab
(-b)·(-b)=+b2

quindi
a2-2ab+b2
da notare che il segno meno resta solo nel doppio prodotto mentre i quadrati sono sempre positivi
Sapevi che i Greci gia' 2000 anni fa conoscevano questa regola? E questo senza conoscere il calcolo letterale ma utilizzando semplicemente i segmenti; fai click qui per sapere come facevano
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