Integrazione per sostituzione Si riconoscono perche' c'e' una funzione ed e' presente anche la sua derivata a meno di fattori costanti. Per risolvere un integrale si pone la funzione uguale ad una variabile t e si sostituisce in tutto l'argomento dell'integrale: si ottiene un nuovo integrale nella variabile t. Si integra il nuovo integrale cosi' ottenuto poi, nel risultato, al posto di t si rimette la funzione di partenza: vediamo in particolare il metodo su di un esempio. Calcolare 2x+4 ------------------ dx = x2 + 4x + 5 la derivata di x2 + 4x + 5 e' 2x+4, allora pongo x2 + 4x + 5 = t faccio il differenziale da una parte e dall'altra dell'uguale Equivale a fare la derivata a sinistra rispetto ad x e poi moltiplicarla per dx, a destra derivare rispetto a t (viene 1) e moltiplicare la derivata per dt (2x+4)dx = dt ricavo dx dt dx = ---------- 2x+4 Sostituisco quello che posso nell'integrale di partenza 2x+4 dt ------------ --------- t 2x+4 Posso semplificare 2x+4 sopra e sotto ed ottengo un integrale nella sola t che vado a risolvere 1 ------- dt = log |t| +c t Ora sostituisco a t il suo valore ed ottengo il risultato finale log |x2 + 4x + 5| + c Con log x intendiamo sempre il logaritmo naturale di x Ricapitolando: Decidi quale funzione considerare come t Poni la funzione uguale a t Fai il differenziale a destra ed a sinistra dell'uguale ricava dx Sostituisci nell'integrale di partenza alla funzione il valore t ed a dx il valore ricavato Controlla che spariscano tutti i termini con la x (se non spariscono torna all'inizio e considera se possibile un'altra funzione; se non puoi considerare un'altra funzione passa a provare l'integrazione per parti) Calcola l'integrale con la t Sostituisci nel risultato a t la funzione iniziale Vediamo ora alcuni esercizi per meglio fissare il concetto