Proprieta' della convergenza assoluta


Premettiamo che la convergenza assoluta della serie s
a1 + a2 + a3 + a4 + ....
equivale alla convergenza assoluta di qualunque suo resto sk
ak+1 + ak+2 + ak+3 + ak+4 + ....
infatti le serie |a1| + |a2| + |a3| + |a4| + ....
ha lo stesso carattere della serie
|ak+1| + |ak+2| + |ak+3| + |ak+4| + ....


Vale il teorema:

Se una serie converge assolutamente allora essa converge
Cioe' la convergenza assoluta implica la convergenza; pero' non vale il viceversa: nella pagina precedente hai visto che la serie armonica a segni alterni converge semplicemente mentre non converge assolutamente

come esercizio dimostriamo il teorema
supponiamo che converga la serie
sa = |a1| + |a2| + |a3| + |a4| + ....
mostriamo che allora converge la serie
s = a1 + a2 + a3 + a4 + ....
consideriamo le ridotte parziali rsk,h ed rk,h delle due serie s ed sa
rsk,h = |ak+1| + |ak+2| + |ak+3| + ..... + |ak+k|
rk,h = ak+1 + ak+2 + ak+3 + ..... + ak+h
risulta
|rk,h| ≤ rsk,h
perche' il modulo di una somma e' sempre minore od uguale alla somma dei moduli
inoltre, per il criterio di convergenza della serie sa abbiamo che per k ed h abbastanza grandi avremo
rsk,h ≤ ε
ma allora abbiamo
|rk,h| ≤ rsk,h ≤ ε
cioe', per la proprieta' transitiva
|rk,h| ≤ ε
e siccome ogni numero e' minore od uguale al suo modulo avremo
rk,h ≤|rk,h| ≤ ε
e, per la proprieta' transitiva
rk,h ≤ ε
e questo e' il criterio di convergenza che ci mostra che la serie s e' convergente, come volevamo


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