Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili Diremo che un'equazione differenziale e' a variabili separabili se possiamo separare le x e le y mettendo tutti i termini con le x prima dell'uguale e quelli con le y dopo l'uguale (o viceversa) Esempio: risolvere l'equazione differenziale y = 2 y' scriviamola come y = 2dy ---- dx separiamo le variabili: otteniamo dx = 2 ---- y dy ora integriamo da entrambe le parti (metteremo sempre la costante come ultimo termine dopo l'uguale) dx = 2 dy ---- y sono tutti integrali immediati ed otteniamo x = 2 log y + k Al solito per log y si intende il logaritmo naturale di y Esplicito rispetto alla y log y = x/2 - k/2 applico l'esponenziale elog y = ex/2-k/2 semplifico y = ex/2-k/2 Per le proprieta' dell epotenze posso scrivere y = ex/2 · e-k/2 Quindi, ponendo e-k/2 = c l'integrale generale e' y = c ex/2 Vediamo un altro esempio: risolvere l'equazione differenziale xy' = y scriviamola come x dy ---- dx = y separiamo le variabili: otteniamo dy ---- y = dx ----- x ora integriamo da entrambe le parti dy ---- y = dx ---- x sono tutti integrali immediati ed otteniamo log y = log x + c Al solito per log si intende il logaritmo naturale Metto la costante in forma di logaritmo c = log k per poter poi togliere i logaritmi vedi logaritmo di un prodotto log y = log x + log k log y = log kx quindi l'integrale generale e' y = kx con k costante