Forme indeterminate del tipo  /   metodo del confronto fra infiniti Posso rendere molto piu' semplice il calcolo della pagina precedente con il seguente ragionamento: se un numero tende ad infinito, tendera' ad infinito prima x2 rispetto ad x (prova a mettere al posto di x un numero grande, il suo quadrato sara' ancora piu' grande) cioe' intuitivamente quando x2 e' gia' infinito ancora x e' un valore inferiore quindi trascurabile, quindi in questi limiti basta considerare solo la x a potenza piu' grande, allora limx->   (3x2+4x-4) / (5x2+ 6x -3) sara' uguale al limite limx->   3x2 / 5x2= semplifico limx->   3/5 = 3/5 Da notare che posso fare una "graduatoria" di infiniti rispetto all'infinito "campione" limx->  x Quelli con potenza della x superiore ad 1 andranno all'infinito piu' rapidamente mentre quelli con potenza di x inferiore ad 1 andranno ad infinito piu' lentamente, ad esempio per x tendente ad   x3 arrivera' all'infinito piu' rapidamente di x1/2= x Inoltre posso dire che in assoluto la funzione che andra' all'   piu' rapidamente di tutte le altre sara' y = e x mentre la piu' lenta ad andare all'infinito sara' y = log x ove con log x si intende il logaritmo naturale (quello in base e per intenderci) Quanto detto mi permette di classificare i limiti del tipo   /   in tre grandi gruppi: Definiamo ordine di infinito di una espressione come quello del suo temine di grado piu' alto Esempio: l'ordine di infinito di: 7x4-5x3+2x+4log x vale a 4 perche' 4 e' l'ordine di infinito piu' alto fra i suoi termini Se il numeratore ha lo stesso ordine di infinito del denominatore allora il limite e' uguale al rapporto fra i due termini di grado piu' alto. Nel seguente esempio l'ordine di infinito del numeratore e del denominatore sono entrambe uguali ad 1 limx-> (3x-2log x)/4x = 3/4 se il numeratore ha ordine di infinito superiore al denominatore allora il limite vale   esempio: limx->  ex /x3 =   se il numeratore ha ordine di infinito inferiore al denominatore allora il limite vale 0 esempio: limx->  (x3+logx) / ex = 0 Come abbiamo fatto una classifica degli infiniti possiamo fare la stessa classifica per gli infinitesimi rispetto all'infinitesimo campione limx->0  1/x Quelli con potenza della frazione superiore: 1/x 2   1/x 3  1/x 4 .... andranno a zero piu' velocemente; d'altra parte basta ricordare che 1/0=   e che 1/ =0