Somma e differenza di frazioni algebriche
Anche qui seguiremo esattamente lo stesso procedimento che si usa per la somma di due frazioni numeriche:
se ad esempio ho:

1         3
--   +   -- =
6         4


scompongo i denominatori

    1               3
= -----   +   --- =
 3x2             22


calcolo il minimo comune multiplo 3x22
sommo le frazioni equivalenti con denominatore il minimo comune multiplo:

  1x2            3x3
= -----    +    ---- =
  3x22          3x22 

per semplicita' si preferisce scrivere un'unica frazione piuttosto che piu' frazioni:

    2 + 3x3
= ---------- =
      3x22


eseguo le operazioni al numeratore

    2 + 9
= -------- =
     3x22


sommo i numeratori

    11
= ----
    12

controllo se numeratore e denominatore si possono semplificare: no
ed ottengo
11
---
12

Quando ho una somma di frazioni algebriche devo fare la stessa cosa:
  1. scomporre i denominatori
  2. fare il minimo comune multiplo
  3. dividere il minimo comune multiplo per i denominatori e moltiplicare il risultato per i numeratori
  4. eseguire le moltiplicazioni ai numeratori
  5. sommare i termini simili
  6. scomporre, se possibile il numeratore per semplificarlo con il denominatore
  7. Scrivere la frazione finale
per trovare la regola, come hai visto, devo cercare di fare tutte le operazioni senza nessuna abbreviazione.
Esempio: sommare le frazioni:

x + 3                  x - 4
-------        +      ------ =
x2 - 4                  x2 - 2x


  1. scompongo i denominatori

         x + 3                              x - 4
    ----------------         +      ----------- =
    (x + 2)·(x - 2)                  x·(x - 2)
     
  2. calcolo il minimo comune multiplo

    m.c.m. = x·(x + 2)·(x - 2)
     
  3. divido il minimo comune multiplo per i denominatori e moltiplico il risultato per i numeratori
    • considero:
      x·(x + 2)·(x - 2)
      lo divido per il primo denominatore (x + 2)·(x - 2)
      ed ho come risultato x(per dividere devi eliminare i termini uguali)
      devo poi moltiplicare x per il primo numeratore (x + 3)
       
    • divido x·(x + 2)·(x - 2)
      per il secondo denominatore x·(x - 2)
      ed ho come risultato
      x + 2 devo poi moltiplicare x + 2
      per il secondo numeratore(x - 4)
    Di solito si fa tutto assieme:

       x·(x + 3)    +     (x + 2)·(x - 4)
    =----------------------------------------- =
              x·(x + 2)·(x - 2)

  4. eseguo le moltiplicazioni ai numeratori

           x2 + 3x + x2 - 4x + 2x - 8
    = ----------------------------------=
                x·(x + 2)·(x - 2)

  5. sommo i termini simili
          2x2 + x - 8
    = ---------------------
          x·(x + 2)·(x - 2)
  6. provo a scomporre il numeratore ma questo non e' scomponibile
  7. la frazione finale e' quella scritta prima

Per la differenza e' come per la somma ma attenzione: qui e' facile commettere un errore
Quando abbiamo il meno davanti ad una frazione occorre cambiare di segno tutti i termini al numeratore.
ad esempio eseguiamo la seguente operazione

   x                     x - 2
-------    -    -----------=
x + 3                x2 - 9

  1. scompongo i denominatori, il primo e' gia' scomposto quindi scompongo solo il secondo
       x                         x - 2
    -------    -    -----------------=
    x + 3              (x + 3)·(x - 3)
  2. calcolo il minimo comune multiplo
    m.c.m. = (x + 3)·(x - 3)
  3. divido il minimo comune multiplo per i denominatori e moltiplico il risultato per i numeratori
    • (x + 3)·(x - 3) diviso per il primo denominatore (x + 3) da' come risultato (x - 3) devo poi moltiplicare (x - 3) per il primo numeratore x
    • (x + 3)·(x - 3) diviso per il secondo denominatore (x + 3)·(x - 3) da' come risultato 1 devo poi moltiplicare 1 per il secondo numeratore che quindi non cambia
    Di solito si fa tutto assieme:

              x·(x - 3) - (x - 2)
    = ---------------------------- =
             (x + 3)·(x - 3)

  4. eseguo le moltiplicazioni ai numeratori

        x2 - 3x - x + 2
    = ------------------- =
         (x + 3)·(x - 3)

    attenzione,per le frazioni viene spontaneo non cambiare il numeratore quando lo devo moltiplicare per 1, ma qui in mezzo alle due frazioni ho il segno meno quindi e' come se moltiplicassi per -1; per non sbagliare e' bene mettere sempre la parentesi al numeratore come ho fatto io quando si ha una frazione con il segno meno
  5. sommo i termini simili

          x2 - 4x + 2
    = ---------------------
          (x + 3)·(x - 3)

  6. provo a scomporre il numeratore ma questo non e' scomponibile
  7. la frazione finale e' quella scritta prima

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