Scomposizione secondo il trinomio notevole
La scomposizione secondo il trinomio notevole e' l'operazione inversa della moltiplicazione fra binomi: cioe' dato il trinomio
x2+sx+p con s e p numeri dati dobbiamo trovare il prodotto fra binomi
(x+a)(x+b) il cui risultato sia il polinomio di partenza
Se noi proviamo ad eseguire la moltiplicazione vedremo cosa sono s e p rispetto ad a e b
(x+a)(x+b)=x2+ax+bx+ab= x2+(a+b)x+ab
allora avremo che
x2+sx+p= x2+(a+b)x+ab
e per il principio di identita' dei polinomi avremo
s=(a+b)
p=ab
Quindi avendo p e s dovro' trovare due numeri il cui prodotto e' p e la somma e' s
Esempio
x2+5x+6=
Devo trovare due numeri il cui prodotto e' 6 e la somma e' 5 (conviene partire dal prodotto):
i numeri che danno prodotto 6 possono essere 1 e 6 oppure 2 e 3 e la somma di 2 e 3 mi da' 5
i due numeri cercati sono 2 e 3 quindi
x2+5x+6=(x+2)(x+3)
Quindi quando hai un polinomio ordinato di 3 termini puoi usare questa regola senza scomodare Ruffini.
Attenzione: guarda che per somma si intende somma algebrica quindi e' importante guardare il segno del prodotto: se e' positivo allora i due numeri cercati hanno lo stesso segno e devi farne la somma, ma se il segno del prodotto e' negativo i due numeri hanno segni diversi e devi fare la differenza;
esempio
x2+3x-10=
Devo trovare due numeri il cui prodotto e' -10 e la somma e' +3 (conviene partire dal prodotto che in questo caso e' negativo quindi devi fare la differenza):
i numeri che danno prodotto 10 possono essere 1 e 10 oppure 2 e 5 e la differenza di 5 e 2 mi da' 3 ed essendo 3 positivo dovro' fare +5-2
i due numeri cercati sono -2 e +5 quindi
x2+3x-10=(x-2)(x+5)

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