CUBO DEL BINOMIO

Anche per il cubo troviamo la regola come abbiamo fatto per il prodotto notevole precedente: infatti basta che applichiamo l'operazione sul binomio piu' semplice possibile e poi leggiamo il risultato: (a+b)3=(a+b)·(a+b)·(a+b)=
ora so che (a+b)·(a+b)=a2+2ab+b2 quindi dovro' fare
=(a2+2ab+b2)·(a+b)=
(se vuoi vedere i passaggi fai click qui )
=a3 +a2 b+2a2 b+2ab2 +ab2 +b3=
=a3 +3a2 b+3ab2 +b3

Quindi leggendo il primo e l'ultimo passaggio abbiamo la regola:
(a+b)3 =a3 +3a2 b+3ab2 +b3
cioe'
Il cubo di un binomio e' uguale al cubo del primo monomio piu'il triplo del prodotto del quadrato del primo per il secondo, piu' il triplo del prodotto del primo per il quadrato del secondo,piu' il cubo del secondo
se hai bisogno di aiuto per leggere la regola fai click qui
Ora vediamo su alcuni esempi come applicare questa regola:
ad esempio supponiamo di dover eseguire
(2x+3y)3
al posto di a ho 2x ed al posto di b ho 3y quindi nella regola quando ho il primo monomio metto 2x e quando ho il secondo metto 3y
facciamolo assieme:
Il cubo di un binomio     (2x+3y)3
e' uguale       =
al cubo del primo monomio    (2x)3
piu' il triplo del prodotto del quadrato del primo per il secondo    +3·(2x)2 ·(3y)
piu' il triplo del prodotto del primo per il quadrato del secondo    +3·(2x)·(3y)2
piu' il cubo del secondo    +(3y)3
quindi raccogliendo:
(2x+3y)3= (2x)3 +3·(2x)2 ·(3y)+3·(2x)·(3y)2 +(3y)3=
=8x3 +36x2y +54xy2 +27y3
se vuoi vedere i calcoli per esteso fai click qui


Vediamo ora come comportarci se invece che la somma abbiamo la differenza fra 2 monomi
Lavoriamo su un esempio
(3x-2y)3=
Bastera' considerare il segno meno non come operazione fra i due monomi ma come segno appartenente al secondo monomio
[3x+(-2y)]3=
allora il primo monomio e' 3x ed il secondo e' -2y
Quindi avremo
(3x)3 +3·(3x)2 ·(-2y)+3·(3x)·(-2y)2 +(-2y)3=
=27x3 -54x2y +36xy2 -8y3
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Da notare che i segni vengono alternati: il primo positivo, il secondo negativo, il terzo positivo ed il quarto negativo; cioe' se non vuoi fare troppi conti puoi mettere al risultato i segni alternati partendo dal primo positivo.

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