sviluppo

Dopo aver esaminato il seguente insieme, indicando se e' limitato, determinare se esistono punti di accumulazione giustificando tale affermazione

    I = { x ∈ ℜ / x(k) = cos kπ - 1/k, ∀ k∈N }>


    Devo trovare i punti che obbediscono alla relazione x(k) = cos kπ - 1

k 		per ogni k∈N


per trovarli sostituisco a k i valori della successione dei numeri naturali N e trovo i punti corrispondenti

Per k = 1     → x(1) = cos π - 1

1 		= -1 - 1 = -2
Per k = 2     → x(2) = cos 2π - 1

2 		= 1 - 1

2 		= 1

2
Per k = 3     → x(3) = cos 3π - 1

3 		= -1 - 1

3 		= - 4

3
Per k = 4     → x(4) = cos 4π - 1

4 		= 1 - 1

4 		= 3

4
.....................................

ottengo
-2 1
+   
2 		4
-     
3 		3
+     
4 		6
-     
5 		5
+     
6 		8
-     
7 		7
+     
8 		....
Si tratta di una successione che converge sia verso +1 che verso -1
per vederlo meglio e' possibile cosiderarla come unione delle due successioni
-2 4
-    
3 		6
-    
5 		8
-     
7 		10
-     
9 		.... → -1
1
+   
2 		3
+   
4 		5
+   
6 		7
+   
8 		9
+   
10 		.... → + 1
E' un insieme infinito perche' e' in corrispondenza biunivoca con l'insieme N
ogni punto dell'insieme corrisponde ad un valore di N e viceversa

E' un insieme limitato: infatti e' contenuto ad esempio nell'insieme A = { x ∈ ℜ / -3≤x≤2 } limitato in ℜ
ogni insieme contenuto in un insieme limitato e' limitato

Siccome ogni insieme infinito in ℜ ammette almeno un punto di accumulazione possiamo dire che esiste almeno un punto di accumulazione

Tale punti sono 2: il valore -1 ed il valore +1 cui tendono le successioni componenti;
infatti
  • considerato il punto +1 e preso un numero ε piccolo a piacere, possiamo sempre trovare una frazione del tipo M/(M+1) il cui valore sia minore di 1+ε
    infatti M

    M + 1     		= M + 1 - 1

    M + 1     		= M + 1

    M + 1     		+ 1

    M + 1     		= 1 + 1

    M + 1
    quindi basta scegliere un numero Naturale M abbastanza grande in modo che valga 1

    M + 1     		< ε

  • considerato il punto -1 e preso un numero ε piccolo a piacere, possiamo sempre trovare una frazione del tipo -(N+1)/N il cui valore sia minore di -1-ε
    infatti - (N + 1)

    N     		= - N - 1

    N     		= - 1 - 1

    N
    quindi basta scegliere un numero Naturale N abbastanza grande in modo che valga 1

    N     		< ε
Un punto e' di accumulazione per un insieme se preso comunque un intorno del punto stesso al suo interno esiste sempre un altro punto appartenente all'insieme
(da notare che piu prendo ε piccolo piu' devo prendere M ed N grandi per avere il termine della successione interno all'intervallo di raggio ε)

Nessun altro punto e' di accumulazione, infatti preso un punto fisso della successione basta prendere ε minore della ditanza fra il punto preso ed un suo doppio successivo (sarebbe il successivo del successivo)